Sistemas de Ecuaciones
Sistemas de ecuaciones 2x2
Un sistema de ecuaciones es aquel en el que hay dos o más ecuaciones las cuales comparten entre sí los valores de las incógnitas.
Un sistema de ecuaciones lineales 2x2 se representa de la siguiente manera:
\[\begin{bmatrix} ax & + &by & = &c \\ dx & + &ey & = &f \end{bmatrix}\ = \ \left[ \begin{array}{cc|c} ax & by & c \\ dx & ey & f \end{array} \right]\ = \ \left[ \begin{array}{cc|c} a & b & c \\ d & e & f \end{array} \right] \tag{1}\]En la que la columna uno representa la primera incógnita (\(x\)), la columna dos la segunda incógnita (\(y\)) y la columna tres el resultado de cada fila, de cada ecuación.
Por Sustitución
-
Se despeja una de las variables de alguna de las ecuaciones.
-
Se sustituye el valor de la variable encontrada en la otra ecuación y después despejarla.
-
Se sustituye el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las dos ecuaciones.
-
Se despeja para encontrar el valor de la incógnita faltante.
-
Comprobación.
Por Igualación
-
Se despeja una variable de ambas ecuaciones.
-
Se iguala los valores de los despejes de dichas variables y se depeja la variable contraria.
-
Se sustituye la segunda variable en cualquiera de los despejes.
-
Se despeja la variable faltante para encontrar la solución
-
Comprobación.
Por Gráfica
-
Se despeja de ambas ecuaciones la variable \(y\) .
-
Se tabulan ambos valores de \(y\)
- Si es una ecuación lineal basta con tabular solo 2 valores
-
Se agregan las coordenadas en el plano y se unen secuencialemente las de la ecuación 1 entre sí y las de la ecuación 2 entre sí.
- Si es una ecuación lineal se extiende la recta formada.
-
Analizar: las intersecciones entre las gráficas son las soluciones del sistema.
Casos | Recta | Gráfica | Cantidad de soluciones |
---|---|---|---|
1 | Misma recta | Misma gráfica | Infintas soluciones |
2 | Rectas paralelas | Misma gráfica, pero con desplazamiento en \(x\) | Sin soluciones |
3 | Dos rectas no paralelas | - | Única solución |
4 | - | Dos gráficas distintas | Depende del número de intersecciones entre las gráficas. |
Sistemas de Ecuaciones Lineales con más de dos Variables
Un sistema de ecuaciones se define de la siguiente manera:
\[A =\left[\begin{array}{cccc|cc} a_{11}x_{1} & a_{12}x_{1} & \cdots & a_{1n}x_{1} & k_1 \\ a_{21}x_{2} & a_{22}x_{2} & \cdots & a_{2n}x_{2} & k_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1}x_{m} & a_{m2}x_{m} & \cdots & a_{mn}x_{n} & k_n \\ \end{array} \right]\ = \ \left[\begin{array}{cccc|cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & k_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & k_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & k_n \end{array} \right] \tag{2}\]en dónde \(n\) representa la cantidad de variables y \(m\) la cantidad de ecuaciones.
Transformaciones Elementales de una Matriz
Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, una matriz de un sistema equivalente resulta si
-
Se intercambian dos renglones.
-
Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero.
-
Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón.
Gauss
El método de Gauss consiste en utilizar las transformaciones elementales para transformar un sistema de ecuaciones lineales a su forma escalonada. Para después terminar de resolverla con cualquier otro método.
En el caso de sistemas de ecuaciones lineales donde \(m \geq n\)
\[A = \left[\begin{array}{ccccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & k_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & k_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} & k_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} & k_m \\ \end{array} \right]\ = \ \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & P(a_{12}) & P(a_{13}) & \cdots & P(a_{1n}) & P(k_1) \\ 0 & 1 & P(a_{23}) & \cdots & P(a_{2n}) & P(k_2) \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & P(a_{3n}) & P(k_3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & Q & P(k_{m}) \end{array} \right] \tag{3}\]- Si \(n = m \to Q = 1\)
- Si \(n < m \to Q = 0\)
En el caso de sistemas de ecuaciones lineales donde \(m < n\)
\[A = \left[\begin{array}{ccccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & k_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & k_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} & k_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} & k_m \\ \end{array} \right]\ = \ \left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & P(a_{12}) & P(a_{13}) & P(a_{14}) & \cdots & P(a_{1n}) & P(k_1) \\ 0 & 1 & P(a_{23}) & P(a_{24}) & \cdots & P(a_{2n}) & P(k_2) \\ 0 & 0 & 1 & P(a_{34}) & \cdots & P(a_{3n}) & P(k_3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & P(a_{mn}) & P(k_{m}) \end{array} \right] \tag{4}\]NOTA
- Sea \(i\) una determinada fila y \(j\) una determinada columna, entonces \(P(a_{ij}) = (ba+ c)_{ij}\)
- En \((3)\) la diagonal principal está conformada de unos y debajo de estos unos hay puros ceros
Gauss Jordan
El método de Gauss Jordan consiste en utilizar las transformaciones elementales para transformar un sistema de ecuaciones lineales de manera que su diagonal principal esté conformado de unos y el resto de la matriz de coeficientes sean ceros. Este método no aplica para matrices con tamaño \(m < n\)
\[A = \left[\begin{array}{ccccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & k_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & k_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} & k_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} & k_m \\ \end{array} \right]\ = \ \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & P(k_1) \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & P(k_2) \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & P(k_3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & Q & P(k_{m}) \end{array} \right] \tag{5}\]- Si \(n = m \to Q = 1\)
- Si \(n < m \to Q = 0\)
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