Guía de Estudio sobre Vectores

Operaciones Básicas

Suma

• Ley del triángulo: dos vectores se pueden sumar si se coloca el punto inicial del segundo vector en el punto terminal del primero y luego se dibuja un segmento de recta del punto inicial del primero al punto terminal del segundo.

• Ley del paralelogramo: \(\vec{PS} = \vec{PQ} + \vec {PR}\). Si \(\vec{PQ}\) y \(PR\) son dos fuerzas que actúan en \(P\), entonces escalar la fuerza resultante, es decir, la fuerza única que produce el mismo efecto que las dos fuerzas combinadas.

\[a + b = 〈a_1, a_2, \dots, a_n〉 + 〈b_1, b_2, \dots, b_n〉 = 〈a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n〉\]

Resta

Ley del triángulo: Dos vectores se pueden restar si se coloca el punto inicial en ambos vectores y luego se une un segmento de recta del funto final de cada uno

\[a - b =〈a_1, a_2, \dots, a_n〉 - 〈b_1, b_2, \dots, b_n〉 = 〈a_1 - b_1, a_2 - b_2, \dots, a_n - b_n〉\]

Multiplo Escalar

Si \(m\) es escalar y \(v\) es un vector, entonces \(mv\) se define como un vector cuya magnitud es \(| m |\) veces \(\| v \|\) (la magnitud de v) y cuya dirección puede ser la misma de \(v\) (si \(m > 0\) ) u opuesta a la de \(v\) (si \(m < 0\) ).

\[m〈a_1, a_2〉= 〈ma_1, ma_2\]

Magnitud de un Vector

La magnitud del vector \(a =〈a_1, a_2, \dots, a_n〉\), denotada por \(\| a \|\), está dada por:

\[\| a \| = \| 〈a_1, a_2, \dots, a_n〉 \| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}\]

Vectores Unitarios

Un vector unitario es un vector de magnitud 1

\[\displaylines{ i = 〈1,0〉, & j = 〈0,1〉, \\ \tag{2 dimensiones} }\] \[\displaylines{ i = 〈1,0,0〉, & j = 〈0,1,0〉, & k = 〈0,0,1〉 \tag{3 dimensiones} }\]

Notación de vectores con \(i, j, k\): Los vectores \(i, j\) y \(k\) sirven para disponer de una manera alternativa de representar vectores.

\[a = 〈a_1, a_2, a_3〉= a_1i + a_2j + a_3k\]

Vector Unitario en Birección de V

\[u = \frac v{\| v \|}\]

Distancia entre dos Vectores

\[d(u, v) = \| u-v \|\]

Ángulo de un Vector

Sea \(\theta\) un ángulo en posición estándar, medida desde el eje x positivo al vector \(a\),

\[\displaylines{ \cos \theta = \frac{a_1}{\| a \|} & \text{ y } & \sin \theta = \frac{a_2}{\| a \|} }\]

Producto Punto

El producto punto, producto escalar o producto interior se define algebraicamente como:

\[a \cdot b = 〈a_1, a_2, \dots, a_n〉 \cdot 〈b_1, b_2, \dots, b_n〉 = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_n\]

En el cual el resultado no da un vector sino un escalar

Vectores Paralelos y Ortogonales

Si \(\theta\) es el ángulo entre dos vectores \(a\) y \(b\) diferentes de cero, entonces:

1. \(a\) y \(b\) son paralelos si \(\theta = 0\) o \(\theta = \pi\)

2. \(a\) y \(b\) son ortogonales si \(\theta = \cfrac{\pi}2\)

3. \(a\) y \(b\) son ortogonales si \(a \cdot b = 0\)

Teorema sobre el Producto Punto

Si \(\theta\) es el ángulo entre dos vectores \(a\) y \(b\) diferentes de cero, entonces:

\[a \cdot b = \| a \|\ \|b \| \cos \theta\]

Teorema del Coseno del Ángulo entre Vectores

Si \(\theta\) es el ángulo entre dos vectores \(a\) y \(b\) diferentes de cero, entonces.

\[\displaylines{ \cos \theta = \frac{a \cdot b}{\| a \|\ \| b \|}, & \theta = \arccos \left( \frac{a \cdot b}{\| a \|\ \| b \|} \right) }\]

Componente de un Vector a lo Largo de otro Componente

Sea \(\theta\) el ángulo entre dos vectores a y b diferentes de cero. El componente de \(a\) a lo largo de \(b\), denotado por \(\text{comp}_b\ a\), está dado por

\[\displaylines{ \text{comp}_b\ a = \| a \| \cos \theta = \frac{a \cdot b}{\| b \|} }\]

• Si \(\theta\) es agudo, entonces \(\| a \| \cos \theta > 0\)

• Si \(\theta\) es obtuso, entonces \(\| a \| \cos \theta < 0\)