Guía de Estudio sobre Espacios Vectoriales

Combinaciones lineales

\[x = c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n\]

Espacio vectorial

En ℝⁿ

Para determinar si una combinación lineal pertenece a ℝⁿ, nos aseguramos que los vectores sean de dimensión \(n\)

Subespacio generador o conjunto generador

Sea \(V\) un vector y \(S\) un espacio vectorial, se dice que \(S\) es un subespacio generador de \(V\) si existe una combinación lineal que dé como resultado el vector \(V\)

Base

Sea \(U\) un espacio vectorial y \(S\) un espacio vectorial, se dice que \(S\) es base de \(U\) si existe una combinación lineal qué pueda dar como resultado cualquier vector de \(U\)

Proyección de un ortogonal

Producto Interno

Para espacios vectoriales

\[〈u, v〉 = u \cdot v\]

Ortogonal: Cuando el ángulo es de 90°

Proyección de un ortogonal

Sean \(u\) y \(v\) en un espacio \(V\) con producto interno, tal que \(V \neq \theta\). La proyección de un ortogonal de \(u\) sobre \(v\) está dada por:

\[\text{proy}_v = \frac{〈u, v〉}{〈v, v〉} v\]

Ortogonal: Producto punto tiene que dar 0.

Bases Ortogonales y Ortonormales

Sea \(S\) un conjunto en un espacio vectorial \(V\) con producto interno, se llama ortogonal, si todo par de vectores en \(S\) es ortogonal. Si además, cada vector en \(S\) es unitario, se denomina ortonormal

Ortogonal:

\[〈v_i, v_j〉 = 0, i \pm j\]

Ortonormal: Ortogonal y

\[\displaylines{ \| v_i \| = 1, & i = 1, 2, 3, \dots n }\]

Proceso de Ortonormalización de Gram - Schmidt

Sea \(B\) una base del espacio \(V\) con producto interno

Sea \(B\:'\) una base ortogonal en \(V\) dado por:

\[\begin{array}{ll} w_1 = v_1 \\ w_2 = v_2 - \cfrac{〈v_2, w_1〉}{〈w_1, w_1〉} \\ w_3 = v_3 - \cfrac{〈v_3, w_1〉}{〈w_1, w_1〉} w_1 - \cfrac{〈v_3, w_2〉}{〈w_2, w_2〉}w_2 \\ w_n = v_n - \cfrac{〈v_n, w_1〉}{〈w_1, w_1〉} w_1 - \cfrac{〈v_n, w_2〉}{〈w_2, w_2〉}w_2 - \cdots - \cfrac{〈v_n, w_{n-1}〉}{〈w_{n-1}, w_{n-1}〉} w_{n-1} \end{array}\]

Sea \(B\:''\) una base ortogonal en \(V\) dado por:

\[u_i = \cfrac{w_i}{\| w_1 \|}, i = 1, 2, \dots, n\]

Producto cruz

\[a \times b = \| a \|\: \| b \| \sin \theta\] \[a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_{2} & b_{3} \\ \end{vmatrix}\]