Matrices

Matriz Identidad

La matriz identidad de orden \(n\) (\(I_{n}\)) es aquella matriz cuadrada de orden \(n\) que tiene en su diagonal principal unos y en todo lo demás ceros.

\[I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\ \ I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{1}\]

Matriz Inversa

Matrices cuadradas

La matriz inversa \(A^{-1}\) es aquella matriz que al ser multiplicada por la matriz original \(A\) da como resultado la matriz identidad \(I_n\).

\[AA^{-1} = I_{n} = A^{-1}A \tag{2}\]

En estos casos se puede decir que si hay conmutividad.

Matriz Inversa en Sistemas de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales

\[\left[\begin{array}{cccc|c} a_{11}x_{1} & a_{12}x_{1} & \cdots & a_{1n}x_{1} & k_1 \\ a_{21}x_{2} & a_{22}x_{2} & \cdots & a_{2n}x_{2} & k_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1}x_{n} & a_{n2}x_{n} & \cdots & a_{nn}x_{n} & k_n \\ \end{array} \right] \tag{3}\]

se puede descomponer en una expresión de matrices

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & k_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & k_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & k_n \\ \end{bmatrix},\ \ X = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}\ \text{ y } \ \ B = \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \end{bmatrix} \tag{4}\] \[AX = B \tag{5}\]

Si existe \(A^{-1}\), entonces

\[\eqalign{ AX & = B \\ A^{-1}AX & = A^{-1}B \\ I_{n}X & = A^{-1}B \\ X & = A^{-1}B } \tag{6}\] \[X = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\ \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \end{bmatrix} = \ \begin{bmatrix} b_{11}k_{1} & b_{12}k_{2} & \cdots & b_{1n}k_{n} \\ b_{21}k_{2} & b_{22}k_{2} & \cdots & b_{2n}k_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}k_{2} & b_{n2}k_{2} & \cdots & b_{nn}k_{n} \ \end{bmatrix}\tag{7}\]