Determinantes

• IMPORTANTE
• Menores y Cofactores
• Determinantes
  • Regla de Laplace
  • Regla de Sarrus
  • Método de Eliminación de Gauss

El determinate es una función que se le aplica solamente a matrices cuadradas y puede ser expresado como:

\[det(A), |A| \tag{1}\]

y sustituyendo cada corchete de la matriz por una línea

IMPORTANTE

En un sistema homogéneo

• Si \(|D| = 0 \to D\) es linealmente dependiente, es decir, tiene 0 o infinitas soluciones.
• Si \(|D| \neq 0 \to D\) es linealmente independiente, es decir, tiene solución única.

Menores y Cofactores

\[\begin{array}{ccccc} \text{Matriz} & \text{Menor} &\text{Cofactor o Adjunto} \\ \begin{bmatrix} \cancel{a_{11}} & \cancel{a_{12}} & \cancel{a_{13}} & \cancel{\cdots} & \cancel {a_{1n}} \\ \cancel{a_{21}} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \cancel{a_{31}} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \cancel{\vdots} & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \cancel{a_{m1}} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \ & M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ \end{vmatrix} \ & A_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} \ \end{array} \tag{2}\]

Sea \(i\) la fila y \(j\) la columna a la que pertenece un elemento, la menor de un elemento es el determinante que se obtiene al eliminar la fila y columna de la matriz original al que pertenece dicho elemento. Por otra parte, el cofactor de un elemento es el resultado de elevar \(-1\) a la ( \(i + j\) ).

Otra manera de determinar el signo dado de por \((-1)^{i+j}\) es considerar el siguiente tablero de signos.

\[\begin{bmatrix} + & - & + & - & \cdots \\ - & + & - & + & \cdots \\ + & - & + & - & \cdots \\ - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} \tag{3}\]

Determinantes

Regla de Laplace

La siguiente fórmula sirve para calcular determinates de matrices cuadradas de cualquier orden, pero se suele utilizar para las de orden 4 en adelante. Para las de orden 2 y 3 existen fórmulas más simples que derivan de esta, tal como la regla de sarrus.

\[|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + \cdots + a_{1n}A_{1n} \tag{4}\]

o expresado en términos de cofactores:

\[|A| = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + \cdots + a_{1n}(-1)^{1+n}M_{1n} \tag{5}\]

Determinantes de matrices 2x2: La mutlplicación de la diagonal principal menos la multiplicación de la diagonal secundaria:

\[|A| = \begin{vmatrix} a_{11} && a_{12} \\ \\ a_{21} && a_{22} \\ \end{vmatrix}\Rightarrow \ \begin{bmatrix} a_{11} && a_{12} \\ &\color{red}{\searrow}\hspace{-10pt}\color{blue}{\nearrow} \\ a_{21} && a_{22} \end{bmatrix} = \color{red}{a_{11}a_{12}} \color{gray}{-} \color{blue}{a_{21}a_{22}}\]

Regla de Sarrus

La regla de sarrus solo se utiliza para calcular determinantes de matrices 3x3. Consiste en extender la matriz hacia la derecha con las primeras dos filas y sumar la multiplicación de la diagonal principal de cada \(a*1j\) y a eso restarle la suma de los productos de las diagonaleIs secundarias de cada \(a*{3j}\) .

\[|A| =\begin{vmatrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ \\ a_{31} && a_{32} && a_{33} \\ \end{vmatrix}\Rightarrow \ \left[\begin{array}{cccccc|ccc} a_{11} && a_{12} && a_{13} && a_{11} && a_{12} \\ &\color{red}{\searrow}\hspace{-10pt} && \color{red}{\searrow}\hspace{-10pt}\color{blue}{\nearrow} && \color{red}{\searrow}\hspace{-10pt}\color{blue}{\nearrow} && \color{blue}{\nearrow} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} && a_{21} && a_{22} \\ &\color{blue}{\nearrow} && \color{red}{\searrow}\hspace{-10pt}\color{blue}{\nearrow} && \color{red}{\searrow}\hspace{-10pt}\color{blue}{\nearrow} && \color{red}{\searrow} \\ \ a_{31} && a_{32} && a_{33} && a_{31} && a_{32} \end{array}\right] \tag{6}\] \[|A| = {\color{gray} ( {\color{red}{a_{11}a_{22}a_{33}}} + {\color{red}{a_{12}a_{23}a_{31}}} + {\color{red}{a_{13}a_{21}a_{32}}} ) - ( {\color{blue}{a_{31}a_{22}a_{13}}} + {\color{blue}{a_{32}a_{23}a_{11}}} + {\color{blue}{a_{33}a_{21}a_{12}}} )} \tag{7}\]

Método de Eliminación de Gauss

El método de operaciones elementales consiste en tranformar una matriz cuadrada determinada en una matriz triangular de ceros

El determinante de una matriz triangular de ceros es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Esto debido a que, al efectuar la regla de Laplace \((3)\) , el único producto que no se hace 0 es el de la diagonal principal.

\[\begin{array}{ccc} \text{Matriz} && \text{Matriz triangular superior} \\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{vmatrix} \ & = & \begin{vmatrix} P(a_{11}) & P(a_{12}) & \cdots & P(a_{1n}) \\ 0 & P(a_{22}) & \cdots & P(a_{2n}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & P(a_{nn}) \end{vmatrix}\tag{8} \\ \\ & = & P(a_{11}) \cdot P(a_{22}) \cdot {\dots} \cdot P(a_{nn}) \end{array}\]