Regla de Cramer

La regla de cramer se utiliza para conseguir la solución de un sistemas de ecuaciones lineales de tamaño \(n\times n\) mediante el cálculo de determinantes.

\[D = \left[\begin{array}{cccc|cc} a_{11}x_{1} & a_{12}x_{1} & \cdots & a_{1n}x_{1} & k_1\\ a_{21}x_{2} & a_{22}x_{2} & \cdots & a_{2n}x_{2} & k_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}x_{n} & a_{n2}x_{n} & \cdots & a_{nn}x_{n} & k_n\\ \end{array} \right] \tag{1} = \ \left[\begin{array}{cccc|cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & k_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & k_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & k_n \end{array} \right]\]

• Se calcula el determinante de la matriz original (\(\mid D \mid\)), es decir:

\[\mid D \mid = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} \tag{2}\]

IMPORTANTE

• Si \(\mid D \mid = 0\), no se puede aplicar la regla de cramer. Provoca indeterminación \(\frac{a}{0}\)
• Si \(\mid D \mid \neq 0\), se puede aplicar la regla de cramer.

• Después se calcula los determinantes con respecto a las variables (\(x*{1}, x*{2},\dots x\_{n}\))

\[\begin{array}{cc} \ \mid D_{x_{1}} \mid = \begin{vmatrix} k_{1} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ k_{2} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ k_{n} & a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix},\; \ \mid D_{x_{2}} \mid = \begin{vmatrix} a_{11} & k_{1} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & k_{2} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & k_{n} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix},\;\\\\ \ \mid D_{x_{3}} \mid = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & k_{1} & a_{14} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & k_{2} & a_{24} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & k_{n} & a_{n4} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix},\; \cdots\; \ \mid D_{x_{n}} \mid = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n-1} & k_{1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n-1} & k_{2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn-1} & k_{n}\\ \end{vmatrix} \tag{3} \ \end{array}\]

Observación

Como se puede apreciar en \((3)\), para un *determinante con respecto a \(x\_{c}\) variable* (donde \(c\) es la columna a la que pertenece en \((1)\)), se reemplaza la columna (\(c\)) por la columna de las soluciones (\(k\)) y el resto se mantiene igual que en \((1)\).

• Utilizar la siguiente fórmula para conseguir la solución del sistema de ecuaciones

\[x_{1} = \frac{ \mid D_{x_{1}} \mid }{ \mid D \mid }, x_{2} = \frac{ \mid D_{x_{2}} \mid }{ \mid D \mid }, \cdots x_{n} = \frac{ \mid D_{x_{n}} \mid }{ \mid D \mid }, \text{ donde } \mid D \mid \neq 0 \tag{4}\]

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Referencias

• W., E. y A., J. (2009). Encontrar el determinante de una matriz (12^a ed.). En S. R. Cervantes (Ed.), Álgebra y trigonometría con geometría análitica (pp. 715-717). Editorial CENGAGE Learning.