Introducción a la Derivada
La derivada es una función que te permite encontrar la pendiente, el incremento o decremento de la función en un valor \(x\) específico.
Qué es una Pendiente
Pendiente: Se define como el cambio en elevación (la diferencia entre los términos \(y\) ) entre el cambio en corrimiento (la diferencia entre los términos \(x\) ).
\[m = \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\]Pendiente de una Recta
En el caso de las funciones lineales, la pendiente se calcula simplemente usando la fórmula descrita anteriormente, eligiendo dos puntos cualquiera de la función \(x_1\) y \(x_2\) y evaluando en dichos valores para conseguir \(y_1\) y \(y_2\)
Pendiente de una Curva
Antes de hablar de cómo calcular la pendiente de una curva, es necesario que conozcas los siguientes conceptos:
- Recta secante: Linea que corta a una función en dos o más puntos.
- Recta tangente: Línea que corta a una función en un único punto. A dicho punto se le denomina como punto de tangencia.
En funciones no lineales se encuentran curvas, las cuales no se pueden calcular su pendiente, debido a que la razón del cambio tanto en \(x\) como en \(y\) es de \(0\) , lo cual daría \(0/0\) , una indeterminación.
Para encontrar la pendiente de una curva, se calculan las pendientes de las rectas secantes que se encuentran cerca \(x\) (4 por derecha y 4 por izquierda). Dichas rectas secantes se conformarán de dos puntos \(x\) y \(x+h\) donde \(h\) es el parámetro que se modificará, tal como en los límites ( \(\cdots -0.01, -0.1, + 0.1, +0.01 \cdots\) ) . Sustituyendo en la fórmula de pendiente conseguimos:
\[m = \cfrac{f\:(x ) - f \:(x+h)}{x - \:(x+h )}\]Que simplificando queda como:
\[m = \cfrac{f\:(x ) - f \:(x+h)}{-h} = \cfrac{f \:(x+h)-f\:(x ) }{h}\]Dichas pendientes conseguidas a partir del parámetro \(h\) , se tabularan y a partir de aproximación, podremos determinar cuál es el valor de la pendiente de \(x\) .
Como podemos observar, estos valores de \(h\) tienden a ir a 0, tal como un límite por lo que de esta observación se puede sacar la siguiente expresión:
\[m = \lim_{h\to 0}\cfrac{f \:(x+h)-f\:(x ) }{h}\]A esta función se le llama derivada.
Definición de derivada
La derivada de una función \(f\:(x)\) es otra función la cual se denota como i \(f\ '\ (x)\:\) , que representa las pendientes de las tangentes para cualquier punto de \(f\: (x)\)
\[f\ '\ (x) = \lim_{h\to 0}\cfrac{f \:(x+h)-f\:(x ) }{h}\]Las derivada puede representarse por cualquiera de las siguientes expresiones
| Derivada | Se lee |
|---|---|
| \(f\ '(x)\) | derivada de \(f\: (x)\) |
| \(y\ '\) | \(y\) prima |
| \(\cfrac{dy}{dx}\) | derivada de \(y\) con respecto de \(x\) |
| \(\cfrac{d}{dx}[f(x)]\) | derivada de \(f(x)\) con respecto de \(x\) |
Referencias
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Carrión, M. (22 de noviembre de 2021). La derivada gráficamente. Curso Básico de Cálculo Diferencial. Platzi. Recuperado el 13 de enero de 2023 de https://platzi.com/clases/2612-calculo-diferencial/43607-la-derivada-graficamente/
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Carrión, M. (22 de noviembre de 2021). La definición de derivada. Curso Básico de Cálculo Diferencial. Platzi. Recuperado el 13 de enero de 2023 de https://platzi.com/clases/2612-calculo-diferencial/43608-la-definicion-de-derivada/
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