Independencia lineal

Definición: Consideremos las funciones \(f_1, f_2, f_3, \dots, f_n\).

1. Diremos que estas funciones son linealmente independientes si los únicos números que satisfacen la ecuación \(cf_1, cf_2, cf_3, \dots, cf_n = 0\) son los números \(c_1 = c_2 = c_3 = \dots = c_n = 0\).

2. Diremos que estas funciones son linealmente dependiendes si no son línealmente independientes.

3. El Wronskiano de \(f_1, f_2, f_3, \dots, f_n\) se define como el determinante.

\[W \left(f_1, f_2, f_3, \dots, f_n \right) = \begin{vmatrix} f_1 & f_2 & f_3 & \dots & f_n \\ f_1\:' & f_2\:' & f_3\:' & \dots & f_n\:' \\ f_1\:'' & f_2\:'' & f_3\:'' & \dots & f_n\:'' \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {f_1}^{(n-1)} & {f_2}^{(n-1)} & {f_3}^{(n-1)} & \dots & {f_{n}} ^{(n-1)} \end{vmatrix}\]

IMPORTANTE

En Wronskiano:

• Si \(\mid D \mid = 0 \to\) sistema linealmente dependiente
• Si \(\mid D \mid \neq 0 \to\) sistema linealmente independiente

NOTA

El Wronskiano se puede aplicar para sistemas homogéneos y heterogéneos