Conjunto Fundamental de Soluciones

Consideremos una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes, es decir, una ecuación de la forma:

\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{2}y\: '' + a_{1}y\: ' + a_0y = 0 \tag{1}\]

donde \(a_n,\dots, a_0\) son números constantes.

Teorema

La ecuación \((1)\) tiene exactamente \(n\) soluciones \(f*1,\dots,f_n\) que son _linealmente independientes entre sí*. En este caso, la solución general de \((1)\) es de la forma:

\[y = C_1f_1 + C_2f_2 +\cdots + C_nf_n \tag{2}\]

donde \(C_1, \dots, C_n\) son parámetros constantes.

Llamaremos al conjunto de funciones \(\{f_1,\dots, f_n \}\) el conjunto fundamental de soluciones de \((1)\).

Teorema (Principio de superposición)

1. Si \(f_1, f_2,\dots, f_k\) son soluciones de \((1)\) y \(C_1,\dots, C_k\) son constantes, entonces la función \(C_1f_1 + C_2f_2 + \cdots + C_kf_k\) también es una solución de \((1)\).

2. Si \(f_1, f_2,\dots, f_k\) son \(n\) soluciones y son linealmente independiendes, entonces la solución general de \((1)\) es:

\[y = C_1f_1 + C_2f_2 +\cdots + C_nf_n\]

donde \(C_1, \dots, C_n\) son parámetros constantes.

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Consideremos una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes de orden \(n\), es decir, una ecuación de la forma:

\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots+ a_{2}y\: '' + a_{1}y\: ' + a_0y = 0 \tag{1}\]

donde \(a_n,\dots, a_0\) son números constantes. Asociada a esta ecuación diferencial tenemos la ecuación algebraíca:

\[a_nt^{(n)} + a_{n-1}t^{(n-1)} +\cdots+ a_{2}t^2 + a_{1}t + a_0 = 0 \tag{2}\]

Asumamos que hemos resuelto la ecuación \((2)\). Entonces por cada solución de \((2)\) añadiremos una o varias funciones al conjunto fundamental de soluciones de la siguiente manera:

• Por cada solución real \(t=a\) de multiplicidad \(k\), añadiremos al c.f.s. Las funciones:

  \[e^{ax}, xe^{ax}, \dots, x^{k-1}e^{ax}\]

• Por cada par de soluciones complejas de la forma \(t = a \pm bi\), ambas

soluciones \(k\), añadiremos al c.f.s. las funciones

\[e^{ax}\cos(bx), xe^{ax}\cos(bx), \dots, x^{k-1}e^{ax}\cos(bx)\] \[e^{ax}\sin(bx), xe^{ax}\sin(bx), \dots, x^{k-1}e^{ax}\sin(bx)\]