Variación de Parámetros
Consideremos una ecuación diferencial lineal no-homogénea de la forma:
\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} +\cdots+ a_{2}y\: '' + a_{1}y\: ' + a_0y = f(x) \tag{1}\]donde \(a_n,\dots, a_0\) son números constantes. Asociada a esta ecuación diferencial tenemos la ecuación algebraíca:
\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{2}y\:'' + a_{1}y\:' + a_0y = 0 \tag{2}\]Entonces la solución general de \((1)\) es de la forma:
\[y = y_h + y_p\]donde \(y_h\) es la solución de \((2)\), llamada la solución auxiliar y \(y_p\) es una solución de \((1)\), que llamamos solución particular.
Para determinar la solución particular, existen diferentes métodos, el que veremos a continuación se llama variación de parámetros.
Sabemos que la solución auxiliar es de la forma:
\[y_h = C_1f_1 + C_2f_2 + \dots + C_nf_n\]donde \(C_1, \dots, C_n\) son parámetros constantes y \(\{f_1, \dots, f_n\}\) es el conjunto fundamental de soluciones para la ecuación homogénea \((2)\). Entonces la solución particular es de la forma:
\[y_p = u_1f_1 + u_2f_2 + \dots + u_nf_n\]donde ahora \(u_1, \dots u_n\) son funciones, y estas se obtienen al resolver un sistema de ecuaciones.
Si la ecuación es de orden 2, entonces obtenemos \(u_1\) y \(u_2\) resolviendo el sistema:
\[\begin{array}{c} u_1\:'f_1 & + & u_2\:'f_2 & = & 0 \\ u_1\:'f_1\:' & + & u_2\:'f_2\:' & = & g(x) \end{array}\]Si la ecuación es de orden 3, obtenemos \(u_1\), \(u_2\) y \(u_3\) resolviendo el sistema:
\[\begin{array}{c} u_1\:'f_1 & + & u_2\:'f_2 & = & 0 \\ u_1\:'f_1\:' & + & u_2\:'f_2\:' & = & 0 \\ u_1\:'f_1\:'' & + & u_2\:'f_2\:'' & = & g(x) \end{array}\]El sistema es análogo para ecuaciones de grado superior:
Notemos que al resolver el sistema se obtiene las derivadas de \(u_1, \dots, u_n\), por lo que posteriormente se debe intregrar.
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