Interpolación de Lagrange
El polinomio interpolador de Lagrange tiene la forma:
\[\begin{array}{c} \prod_{\substack {j\ 0 \\ i \neq j}}^n \cfrac {x-x_j}{x_i-x_j} & \text{o} & y_0 = \sum_{i=1}^n y_i \prod_{j=1}^{\substack{n \\ j \neq i}} \cfrac {x_0 - x_j}{x_i - x_j} \end{array}\]Polinomios
\[\begin{alignat*}{4} y_0 &= y_1 \cfrac {x_0 - x_2}{x_1 - x_2} &+& y_2 \cfrac {x_0 - x_1}{x_2 - x_1} \tag{Grado 1} \\ y_0 &= y_1 \cfrac {x_0 - x_2}{x_1 - x_2} \cfrac {x_0 - x_3}{x_1 - x_3} &+& y_2 \cfrac {x_0 - x_1}{x_2 - x_1} \cfrac {x_0 - x_3}{x_2 - x_3} &+& y_3 \cfrac {x_0 - x_1}{x_3 - x_1} \cfrac {x_0 - x_2}{x_3 - x_2} \tag{Grado 2} \\ y_0 &= y_1 \cfrac {x_0 - x_2}{x_1 - x_2} \cfrac {x_0 - x_3}{x_1 - x_3} \cfrac {x_0 - x_4}{x_1 - x_4} &+& y_2 \cfrac {x_0 - x_1}{x_2 - x_1} \cfrac {x_0 - x_3}{x_2 - x_3} \cfrac {x_0 - x_4}{x_2 - x_4} &+& y_3 \cfrac {x_0 - x_1}{x_3 - x_1} \cfrac {x_0 - x_2}{x_3 - x_2} \cfrac {x_0 - x_4}{x_3 - x_4} &+& y_4 \cfrac {x_0 - x_1}{x_4 - x_1} \cfrac {x_0 - x_2}{x_4 - x_2} \cfrac {x_0 - x_3}{x_4 - x_3} \tag{Grado 3} \end{alignat*}\]Ejemplo
Se requiere conocer la densidad del agua a 43.7 °C con un polinomio de grado 1, grado 2 ->, grado 2 <-
| T °C | 4 | 6 | 10 | 20 | 50 | 75 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Densidad | 1 | 0.99997 | 0.99973 | 0.99823 | 0.98807 | 0.97489 | 0.95838 |
NOTA
El polinomio interpolador se obtiene sustituyendo todos los puntos cercanos al “desconocido” excepto \(x_0\)
Grado 1
\[\begin{alignat*}{2} y_0 & \cfrac {x - 50}{20 - 50} + 0.98807 \cfrac {x - 20}{50 - 20} \\ &= \cfrac {0.99823}{-30} (x - 50) + \cfrac {0.98807}{30} (x-20) \\ &= -0.03327(x - 50) + 063294(x-20) \\ &= -0.03327x + 1.6635 + 0.03294x - 0.05880 \\ &= -0.00033 x + 1.0047 \\ &= 0.99029 \approx 0.99020 \end{alignat*}\]Grado 2 (derecha)
\[y_0 = 0.99072\]Grado 2 (izquierda)
\[y_0 = 0.99091\]Enjoy Reading This Article?
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