Aproximación Polinomial de Newton | Alan Yahir Juárez Rubio

CONCEPTO
Diferencias Divididas
Diferencias Finitas

CONCEPTO

\(x\) -distante: Se le dice \(x\) - distante cuando todos los \(x_i\) tengan la misma diferencia con su sucesor y su antecesor.

Diferencias Divididas

IMPORTANTE

Método utilizado para valores en \(x\) que no son \(x\) -distantes. También sirven para valores \(x\) distantes

\(x_i\)	\(f(x_i)\)	Primeras	Segundas	Terceras
\(x_0\)	\(f(x_0)\)
		\(f[x_0 - x_1] = \cfrac {f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\)
\(x_1\)	\(f(x_1)\)		\(f[x_0 - x_1 - x_2] = \cfrac {f[x_1 - x_2] - f[x_0 - x_1]}{x_2 - x_0}\)
		\(f[x_1 - x_2] = \cfrac {f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\)		\(f[x_0 - x_1 - x_2 - x_3] = \cfrac {f[x_1 - x_2 - x_3] - f[x_0 - x_1 - x_2]}{x_3 - x_0}\)
\(x_2\)	\(f(x_2)\)		\(f[x_1 - x_2 - x_3] = \cfrac {f[x_2 - x_3] - f[x_1 - x_2]}{x_3 - x_1}\)
		\(f[x_2 - x_3] = \cfrac {f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}\)
\(x_3\)	\(f(x_3)\)

Polinomios de Newton

\[\begin{alignat*}{2} P_1(x) &= f(x_0) + (x - x_0) f[x_0, x_1] \tag{Grado 1} \\ P_2(x) &= f(x_0) + (x - x_0) f[x_0, x_1] + (x - x_0)(x - x_1)f[x_0, x_1, x_2] \tag{Grado 2} \\ P_3(x) &= f(x_0) + (x - x_0) f[x_0, x_1] + (x - x_0)(x - x_1)f[x_0, x_1, x_2] - (x - x*0)(x - x_1)(x - x_2)f[x_0, x_1, x_2, x_3] \tag{Grado 3} \\ P_n(x) &= \sum^n*{k = 0} a*k \prod*{i = 0}^{k-1} (x - x_i) \tag{Grado n} \end{alignat*}\]

Ejemplo

Calcule la tabla de diferencias con los siguientes puntos:

\(x_i\)	\(f(x_i)\)
-2	-18
		13
-1	-5		-5
		3		1
0	-2		-1		0
		0		1		0
2	-2		3		0
		9		1
3	7		9
		45
6	142

luego interpole el valor de \(f(x_i)\) para \(x_i = 2.2\) con un polinomio de grado 1, grado 2 hacia atrás y grado 2 hacia adelante

\[\begin{alignat*}{2} P_1(2.2) &= -2 + (2.2 - 2)(9) = 0.2 \tag{Grado 1} \\ P_2(2.2) &= -2 + (2.2 - 0) (0) + (2.2 - 0)(2.2 - 2)(3) = 0.68 \tag{Grado 2 <-} \\ P_3(2.2) &= -2 + (2.2 - 2)(9) + (2.2 - 2)(2.2 - 3)(9) = 1.64 \tag{Grado 2 ->} \\ \end{alignat*}\]

Diferencias Finitas

IMPORTANTE

Método utilizado para valores en \(x\) que son \(x\) -distantes

\(x_i\)	\(f(x_i)\)	\(\Delta f(x_i)\)	\(\Delta^2 f(x_i)\)	\(\Delta^3 f(x_i)\)
\(x_0\)	\(f(x_0)\)
		\(\Delta f(x_0) = f(x_1) - f(x_0)\)
\(x_1\)	\(f(x_1)\)		\(\Delta^2 f(x_0) = \Delta f(x_1) - \Delta f(x_0)\)
		\(\Delta f(x_1) = f(x_2) - f(x_1)\)		\(\Delta^3 f(x_0) = \Delta^2 f(x_1) - \Delta^2 f(x_0)\)
\(x_2\)	\(f(x_2)\)		\(\Delta^2 f(x_1) = \Delta f(x_2) - \Delta f(x_1)\)
		\(\Delta f(x_2) = f(x_3) - f(x_2)\)
\(x_3\)	\(f(x_3)\)

Polinomios

Sea \(s = \cfrac {x - x_0}{h}\), entonces:

\[\begin{alignat*}{2} P_1(x) &= f(x_0) + s \Delta f(x_0) \tag{Grado 1} \\ P_2(x) &= f(x_0) + s \Delta f(x_0) + \cfrac {s(s-1)}{2!} \Delta^2 f(x_0) \tag{Grado 2} \\ P_3(x) &= f(x_0) + s \Delta f(x_0) + \cfrac {s(s-1)}{2!} \Delta^2 f(x_0) + \cfrac {s(s - 1)(s - 2)}{3!} \Delta^3 f(x_0) \tag{Grado 3} \\ P_n(x) &= f(x_0) + s \Delta f(x_0) + \cfrac {s(s-1)}{2!} \Delta^2 f(x_0) + \cfrac {s(s - 1)(s - 2)}{3!} \Delta^3 f(x_0) + \cdots + \cfrac {s(s - 1)(s - 2) \cdots (s - (n - 1))}{n!} \Delta^n f(x_0) \tag{Grado n} \end{alignat*}\]

Ejemplos

Interpolar el valor de la presión de vapor de agua a 30 °C con los siguientes datos

Presion	Temperatura
17.535	20

55.324	40

149.380	60

335.110	80

Polinomio de grado 1

\[\begin{alignat*}{2} a_0 &= 17.535 \\ a_1 &= \cfrac {50.324 - 17.535}{20} \approx 1.8895 \\ y &= 17.535 + 1.8895(x-20) \tag{Polinomio interpolador} \\ \end{alignat*}\] \[\begin{alignat*}{2} a_0 &= 17.535 \\ a_1 &\approx 1.8895 \\ a_2 &= \cfrac {149.380 - 2(55.324) + 17.535}{2(20)^2} = 0.0703 \\ y &= 17.535 + 1.8895(x-20) + 0.0703(x-20)(x-40) \tag{Polinomio interpolador} \\ \end{alignat*}\] \[\begin{alignat*}{2} a_0 &= 17.535 \\ a_1 &\approx 1.8895 \\ a_2 &= 0.0703 \\ a_3 &= \cfrac {149.380 - 17.535}{20} = 6.5923 \\ y &= 17.535 + 1.8895(x-20) + 0.0703(x-20)(x-40) + 0.0012(x-20)(x-40)(x-60) \tag{Polinomio interpolador} \\ y(30) &= 33 \\ \end{alignat*}\] \[y(30) = 36.43\]

CONCEPTO