Ajuste de Curvas por Método de Mínimos Cuadrados

• Ejemplo
  • Ajuste lineal
    • RESULTADO
  • Ajuste cuadrático
    • RESULTADO

La propiedad fundamental de este método es que la suma de los cuadrados de los errores se hace tan pequeña como sea posible. Su popósito es encontrar la ecuación que proporcionla la desviación promedio más cercana a cero. Para que esto funcione se emplea la técnica de máximos y mínimos.

Para realizar el ajuste polinomial se resuelve el siguiense sistema de ecuaciones:

\[\begin{matrix} \sum y &=& a_0n &+& a_1 \sum x &+& a_2 \sum x^2 &+ \cdots +& a_n \sum x^n \\ \sum xy &=& a_0 \sum x &+& a_1 \sum x^2 &+& a_2 \sum x^3 &+ \cdots +& a_{n+1} \sum x^{n+1} \\ \sum x^2y &=& a_0 \sum x^2 &+& a_1 \sum x^3 &+& a_2 \sum x^4 &+ \cdots +& a_{n+2} \sum x^{n+2} \\ \vdots &=& \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \sum x^ny &=& a_0 \sum x^n &+& a_1 \sum x^{n+1} &+& a_2 \sum x^{n+2} &+ \cdots +& a_{n+2} \sum x^{2n} \\ \end{matrix}\]

Ejemplo

Realice el ajuste lineal y cuadrático con los datos de la siguiente tabla

n	x	y	x²	xy	x²y	x³	x⁴
1	-3	-27	9	81	-243	-27	81
2	-2	-16	4	32	-64	-8	16
3	-1	-9	1	9	-9	-1	1
4	0	1	0	0	0	0	0
5	1	8	1	8	8	1	1
6	2	18	4	36	72	8	16
7	3	26	9	78	234	27	81
Total	0	1	28	244	-2	-0	196

Ajuste lineal

\[\begin{cases} 1 &=& 7a_0 &+& 0a_1 \\ 244 &=& 0a_0 &+& 28a_1 \end{cases} \tag{grado 1} \Rightarrow \begin{pmatrix} a_0 &=& \frac {3}{7} &\approx& 0.14286 \\ a_1 &=& \frac {61}{7} &\approx& 8.71429 \\ \end{pmatrix}\] \[y = 0.14268 + 8.71429x \tag{Ajuste lineal}\]

RESULTADO

\[y(1.7) = 14.95715\]

Ajuste cuadrático

\[\begin{cases} 1 &=& 7a_0 &+& 0a_1 &+& 28a_2 \\ 244 &=& 0a_0 &+& 28a_1 &+& 0a_2 \\ -2 &=& 28a_0 &+& 0a_1 &+& 196a_2 \end{cases} \tag{grado 3} \Rightarrow \begin{pmatrix} a_0 &=& \frac {3}{7} &\approx& 0.14286 \\ a_1 &=& \frac {61}{7} &\approx& 8.71429 \\ a_1 &=& -\frac {1}{14} &\approx& -0.07143 \end{pmatrix}\] \[y = 0.42857 + 8.71429x - 0.07143x^2 \tag{Ajuste cuadrático}\]

RESULTADO

\[y(1.7) = 15.03643\]