Integración Numérica

• Fórmulas Newton-Cotes
  • Simples
  • Compuestas
    • NOTA
• Ejemplo 1
  • Valor exacto
  • R.T \(n = 1\)
  • R.S 1/3 ( \(n = 5\) )
    • Errores
  • R.S 1/3 n = 2 (Regla Simple)
  • R.S 1/3 n = 6 (Regla Compuesta)
  • R.S 3/8 n = 3 (Regla compuesta)
  • R.S 1/3 n = 6 (Regla compuesta)
• Ejemplo 2
  • Valor exacto
  • Aproximación
• Ejemplo 3
• Referencias

Integración numérica Aquí se presentas los métodos numéricos para evaluar una integral definda con la siguiente estructura

\[I \approx \int^a_bf(x) dx\]

Los métodos considerados se desarrollan tomando una función simple \(Q_n(x)\) que tiene el mismo valor que \(f(x)\) en un número de puntos elegidos \(x_i\) (con \(i = 0, 1, 2, \dots n\) ) y usando la integral de \(Q_n(x)\) como una aproximación de la integral de \(f(x)\). Las funciones \(Q_n(x)\) deben de ser fáciles de integrar y los puntos \(x_i\) en los que se tendrá que \(Q_n(x_i) = f(x_i)\) se conocen como nodos de la fórmula de integración. Si los nodos elegidos \(x\) -distantes, entonces se pueden emplear una serie de fórmulas conocidas como fórmulas de Newton-Cotes

Fórmulas Newton-Cotes

Simples

\[\begin{align*} \int^a_b f(x) dx = & \cfrac {\Delta x}{2} [f_0 + f_1], &n = 1 \tag{Trapecio} \\ \int^a_b f(x) dx = & \cfrac {\Delta x}{3} [f_0 + 4f_1 + f_2], &n = 2 \tag{Simpson 1/3} \\ \int^a_b f(x) dx = & \cfrac {3\Delta x}{8} [f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3], &n = 3 \tag{Simpson3/8} \\ \end{align*}\]

Compuestas

NOTA

\[\Delta x = h = \cfrac {b - a}{n}\]

\[\begin{align*} \int^a_b f(x) dx = & \cfrac {h}{2} [f_0 + 2f_1 + 2f_2 + 2f_3 + \cdot s + f_n], &n = 1 \tag{Trapecio} \\ \int^a_b f(x) dx = & \cfrac {h}{3} [f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + \cdot s + f_n], &n = 2 \tag{Simpson 1/3} \\ \int^a_b f(x) dx = & \cfrac {3h}{8} [f_0 + 3f_1 + 3f_2 + 2f_3 + \cdot s + f_n], &n = 3 \tag{Simpson 3/8} \\ \end{align*}\]

Ejemplo 1

Aproxime la integral \(\int^4_1 e^x dx\) usando la

\[\begin{align*} n = 1 \tag{R.T} \\ n = 5 \tag{R.S 1/3} \\ n = 2 \tag{R.S 3/8} \\ n = 6 \tag{R.S} \\ \end{align*}\]

compare el resultado con el valor exacto.

Valor exacto

\[\int^4_1 e^x dx = e \bigg |^4_1 = e^4 - e¹ \approx 51.87987\]

R.T \(n = 1\)

\[\begin{align*} x_0 & 1 = \ f_0 = 2.7183 \\ x_1 & 4 = \ f_1 = 54.5982 \\ I &\approx 2.7183 + 54.5982] \approx 88.9798 \end{align*}\]

R.S 1/3 ( \(n = 5\) )

\[\begin{align*} x_0 &= 1 && f_0 = 2.7183 && 1 \\ x_1 &= \cfrac {8}{5} && f_1 = 4.9530 && 2 \\ x_2 &= \cfrac {11}{5} && f_2 = 4.0250 && 2 \\ x_3 &= \cfrac {14}{5} && f_3 = 16.4446 && 2 \\ x_4 &= \cfrac {17}{5} && f_4 = 24.9641 && 2 \\ x_5 &= 4 && f_5 = 54.5982 && 1 \\ \end{align*}\] \[I \approx \cfrac {3}{10} \approx 53.4270\]

Errores

\[\begin{align*} E_A &= 5 \\ E_R &\approx 0.02932 \\ E_{RP} &\approx 2.9% \\ \end{align*}\]

R.S 1/3 n = 2 (Regla Simple)

\[\begin{align*} x_0 =& 1 && f_0 = 2.7183 && 1 \\ x_1 =& \cfrac {5}{2} && f_1 = 12.1825 && 4 \\ x_2 =& 4 && f_2 = 54.5982 && 1 \\ \end{align*}\] \[I = \cfrac {\frac {3}{2}}{3} [106.0465] \approx 53.0233\]

R.S 1/3 n = 6 (Regla Compuesta)

\[\begin{align*} x_0 &= 1 &&& f_0 &= 2.7183 && 1 \\ x_1 &= 1.5 &&& f_1 &= 4.4817 && 4 \\ x_2 &= 2 &&& f_2 &= 7.3891 && 2 \\ x_3 &= 2.5 &&& f_3 &= 12.1825 && 4 \\ x_4 &= 3 &&& f_4 &= 20.0855 && 2 \\ x_5 &= 3.5 &&& f_5 &= 33.1155 && 4 \\ x_6 &= 4 &&& f_6 &= 54.5982 && 1 \\ \end{align*}\] \[I = \cfrac {\frac {3}{2}}{3} [311.3845] \approx 51.8974\]

R.S 3/8 n = 3 (Regla compuesta)

\[h = \cfrac {4-1}{3} = 3\] \[\begin{align*} x_0 &= 1 &&& f_0 &= 2.7183 && 1 \\ x_2 &= 2 &&& f_2 &= 7.3891 && 3 \\ x_4 &= 3 &&& f_4 &= 20.0855 && 3 \\ x_6 &= 4 &&& f_6 &= 54.5982 && 1 \\ \end{align*}\] \[I \approx \cfrac {\frac {3}{2}}{3} [106.0465] = 53.0233\]

R.S 1/3 n = 6 (Regla compuesta)

\[\begin{align*} x_0 &= 1 &&& f_0 &= 2.7183 && 1 \\ x_1 &= 1.5 &&& f_1 &= 4.4817 && 3 \\ x_2 &= 2 &&& f_2 &= 7.3891 && 3 \\ x_3 &= 2.5 &&& f_3 &= 12.1825 && 2 \\ x_4 &= 3 &&& f_4 &= 20.0855 && 3 \\ x_5 &= 3.5 &&& f_5 &= 33.1155 && 3 \\ x_6 &= 4 &&& f_6 &= 54.5982 && 1 \\ \end{align*}\] \[I \approx \cfrac {\frac {1}{2}}{3} [311.3845] = 51.8974\]

Ejemplo 2

Valor exacto

Aproxime \(\int^{0.4}_{0.2} e^{3x} \cos 2x dx\) con la regla de S 3/8 con \(n\ 6\)

\[I = 0.4038\]

Aproximación

\[h = \cfrac {0.4 - 0.2}{6} = \cfrac {1}{30}\] \[\begin{align*} x_0 &= 0.2 &&& f_0 &= 1.6783 && 1 \\ x_1 &= \cfrac {7}{30} &&& f_1 &= 1.7984 && 3 \\ x_2 &= \cfrac {4}{15} &&& f_2 &= 1.9165 && 3 \\ x_3 &= \cfrac {3}{10} &&& f_3 &= 2.0300 && 2 \\ x_4 &= \cfrac {1}{3} &&& f_4 &= 2.1363 && 3 \\ x_5 &= \cfrac {11}{30} &&& f_5 &= 2.2319 && 3 \\ x_6 &= \cfrac {2}{5} &&& f_6 &= 2.3131 && 1 \\ \end{align*}\] \[I \approx \cfrac {3\frac {1}{30}}{8} [32.3007] \approx 0.4083\]

Ejemplo 3

Aplica el método de S 3/8 para evaluar \(\int^{10}_4 f(x) dx\) con \(n = 6\)

x	4	5	6	7	8	9	10
f(x)	2.0276	2.5189	2.8835	3.1918	3.4589	3.6944	3.9052
S. 3/8	1	3	3	2	3	3	1
Trapecio	1	2	2	2	2	2	1
S. 1/8	1	4	2	4	2	4	1

\[\begin{array}{cc} h = 1 &&h = \cfrac {10 - 4}{6} = 1 \end{array}\] \[\begin{align*} I &\approx \cfrac {3(1)}{8} [49.9835] & 18.7437 &&n = 6 \tag{S. 3/8} \\ I &\approx \cfrac {1}{2} [37.4278] & 18.7139 &&n = 6 \tag{Trapecio} \\ I &\approx \cfrac {1}{3} [56.2380] & 18.7460 &&n = 6 \tag{S 1/8} \end{align*}\]

Referencias

• Minerva S. (2022). Integración numérica - parte1. https://www.loom.com/share/70c5fcff624043e991d6de0c00008a6b

• Minerva S. (2022). Integración numérica - parte2. https://www.loom.com/share/e73c3d866cd14b42a289dd8e6c14d9de

• Minerva S. (2022). Integración numérica - parte3. https://www.loom.com/share/d44c892d9a4f46a0a1a380146c3fa58b

• Minerva S. (2022). Integración numérica - parte4. https://www.loom.com/share/433010810c384f0590194701c11ba043

• Minerva S. (2022). Integración numérica - parte5. https://loom.com/share/60ddfef7e73743aa8a1ae358f8c5a71b