Recordar el polinomio de Newton
\[\begin{align*} y &= a_0 + a_1(x - x_0) \\ y' &= a_1(1) = a_1 \\ y'' &= 0 \end{align*} \tag{grado 1}\] \[\begin{align*} y &= a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) \\ y' &= a_1(1) + a_2((x - x_0)(1) + (x - x_1)(1)) = a_1 \\ y' &= a_1 + a_2(2x - x_0 - x_1) \\ y'' &= a_2 (2) = 2a_2 \\ y''' &= 0 \end{align*} \tag{grado 2}\] \[\begin{align*} y &= a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + a_3(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \\ y' &= a_1 + a_2[(x - x_0) + (x - x_1)] + a_3[(x - x_0)(x - x_1) + (x - x_0)(x - x_2) - (x - x_1)(x - x_2)] \\ y'' &= a_2 (1+1) + a_3[x - x_0) + (x - x_1) + (x - x_0) + (x - x_2) + (x - x_1) - (x - x_2)] \\ y'' &= 2a_2 + a_3[2(x - x_0) + 2(x - x_1) + 2 (x - x_2)] \\ y''' &= a_3[2 + 2 + 2] = 6a_3 \end{align*} \tag{grado 3}\]
Para \(n = 4\):
\[y^{IV} = 24a_4\]
Para un polinomio de grado \(n\):
\[y^n = n!a_n\]
Ejemplo 1
NOTA
- Solamente cuando son \(x\) -distantes se puede tomar un punto de la tabla
- Solo para \(x\) -distantes se puede calcular la primer derivada centrada, con un promedio
Encuentra la primera y segunda derivada en \(x = 5\) a partir de los datos.
| x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| f(x) | 8 | 13 | 18 | 21 | 16 | 9 |
Primera
\[f'(5) = \cfrac {-5 + 3}{2} = -1\]
Segunda
\[F'(5) = 2a_2 = 2(-4) = -8\]
Ejemplo 2
En una carrera de 400 m planos se tomaron los siguientes tiempos parciales:
| Distancia | f(x) | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 |
| Tiempo | x | 0 | 13.1 | 25.2 | 36.4 | 46.1 |
Encuentre la velocidad y la aceleración del atleta a la mitad de la carrera.
Primer derivada ->
| 25.2 | 200 | |
| | | 8.92857 |
| 36.4 | 300 | |
Primer derivada <-
Segunda derivada
| 13.1 | 100 | | |
| | | 8.2645 | |
| 25.2 | 200 | | 0.0285 |
| | | 8.92857 | |
| 36.4 | 300 | | |
\[y'' (25.2) = 2(0.0285) = 0.0570\ m/s\]