Solución de EDO: Método de Euler

• Ejemplo 1
  • RESPUESTA
  • Analíticamente
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• Ejemplo 2
  • RESPUESTA

Solución de una ecuación ordinaria de primer orden. El problema clásico:

\[\cfrac {dy}{dx} = f(x, y) = \begin{cases} y = y_0, & x = x_0 \\ y = \ ?, & x = x_f \end{cases}\]

El método de Euler es usado para E.O de primer orden. Se tiene que:

\[\begin{align*} \cfrac {dy}{dx} \sim \cfrac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = f(x_0, y_0) \\ \\ y_1 - y_0 = \Delta x\ f(x_0, y_0) \\ \\ y_1 = y_0 + \Delta x\ f(x_0, y_0) \tag{Fórmula de Euler} \end{align*}\]

El método requiere proponer un \(\Delta x\) y el método iterativo es el siguiente

\[\begin{array}{ccc} x_1 &=& x_0 + \Delta x && y_1 &=& y_0 + \Delta x\ f(x_0, y_0) \\ x_2 &=& x_1 + \Delta x && y_2 &=& y_1 + \Delta x\ f(x_1, y_1) \\ x_3 &=& x_2 + \Delta x && y_3 &=& y_2 + \Delta x\ f(x_2, y_2) \\ \vdots &&&& \vdots \\ x_{n+1} &=& x_n + \Delta x && y_{n+1} &=& y_n + \Delta x\ f(x_n, y_n) \\ \end{array}\]

Ejemplo 1

Sea \(\cfrac {dy}{dx} = \cfrac {x^2}{y}\), \(y_0 = 2\) en \(x_0 = 1\) y \(y_f = ¿?\) en \(x = 2\), proponga \(h = \Delta x = 0.2\)

n	x	y
0	1	2
1	1.2	2.1
2	1.4	2.237
3	1.6	2.4122
4	1.8	2.6244
5	2	2.8713

RESPUESTA

\[y(0.1) \approx 2.8713\]

Analíticamente

\[\cfrac {dy}{dx} = \cfrac {x^2}{y} \Rightarrow ydy = x^2dx \tag{Variables Separables}\]

integramos:

\[\int y\ dy = \int x^2\ dx \Rightarrow \cfrac {y^2}{2} \tag{Solución General}\]

Sustituyendo \(x_1 = 1\) y \(y = 2\):

\[\begin{align*} \cfrac {2^2}{2} &= \cfrac {1}{3} + c \\ \cfrac {4}{2} -\cfrac {1}{3} &= c \\ \cfrac {5}{3} &= c \end{align*}\]

Sustituyendo \(c\) en la solución general y evaluando en \(x = 2\)

\[\begin{align*} \cfrac {y^2}{2} &= \cfrac {2^3}{3} + \cfrac {5}{3} \\ y &= \sqrt{26/3} \\ y & 2.9439 \end{align*}\]

RESPUESTA

\[y(0.1) = 2.9439\]

Ejemplo 2

Resolver \(y = 20y + 7e^{-0.5t}\) con \(y(0) = 5\) por el método de Euler con \(h = 0.02\) para \(0 \leq t \leq 0.1\), usar \(h = \Delta, t = 0.02\)

n	t	y
0	0	5
1	0.02	3.14
2	0.04	2.02261
3	0.06	1.35079
4	0.08	0.94634
5	0.1	0.70321

RESPUESTA

\[y(0.1) \approx 0.70231\]