Método de Runge-Kutta

• Ejemplo
  • DATOS
  • Primera Iteración
  • Segunda Iteración
  • Tercera Iteración
  • Cuarta Iteración
  • Quinta Iteración
    • RESULTADO
• Referencias

El método de Euler aunque es sencillo, es poco exacto para ecuaciones diferenciales de alto orden. Existe un método llamado de Runge-Kutta de 2do, 3er y 4to orden, que es equivalente a la aplicación de fórmulas de Taylor de orden superior, aunque el de 4to orden es el más utilizado por brindar la mejor aproximación para resolver ecuaciones diferenciales, aunque el cálculo de la próxima aproximación requiere de cálculos adicionales para \(k_1, k_2, k_3\) y \(k_4\), entre ellos, el de 4to orden es el mejor. El método iterativo se enuncia a continuación:

\[y_{n+1} = y_n + \cfrac {h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\]

donde:

\[\begin{align*} k_1 &= f(x_n,\; y_n) \\ k_2 &= f(x_n + \cfrac {h}{2},\; y_n + \cfrac {h \cdot k_1}{2}) \\ k_3 &= f(x_n + \cfrac {h}{2},\; y_n + \cfrac {h \cdot k_2}{2}) \\ k_4 &= f(x_n + h,\; y_n + h \cdot k_3) \end{align*}\]

Ejemplo

Utiliza el método de Runge - Kutta de 4to orden para aproximar \(\cfrac {dy}{dx} = x^2 + y\) con \(y(0) = 1\) para \(y(1)\), usando \(h = 0.2\)

DATOS

• \(h = 0.2\).
• \(x_0 = 0\).
• \(y_0 = 1\).
• \(x_f = 1\).
• \(y_f = ¿?\).

Primera Iteración

\[\begin{array}{lllllll} k_1 &=& f(0,\; 1) & & &=& 1 \\ k_2 &=& f(0 + \cfrac {0.2}{2},\; 1 + \cfrac {0.2 \cdot 1}{2}) &=& f(0.1,\; 1.11) &=& 1.1 \\ k_3 &=& f(0 + \cfrac {0.2}{2},\; 1 + \cfrac {0.2 \cdot 1.111}{2}) &=& f(0.1,\; 1.111) &=& 1.21 \\ k_4 &=& f(0 + 0.2,\; 1 + 0.2 \cdot 1.21) &=& f(0.2,\; 1.2242) &=& 1.26420 \\ \end{array}\] \[y_1 = 1 + \cfrac {0.2}{6} [1 + 2(1.11) + 2(1.121) + 1.2642] = 1.22421\]

Segunda Iteración

\[\begin{array}{lllllll} k_1 &=& f(0.2,\; 1.22421) & & &=& 1.26421 \\ k_2 &=& f(0.2 + \cfrac {0.2}{2},\; 1.22421 + \cfrac {0.2 \cdot 1.26421}{2}) &=& f(0.1,\; 1.11) &=& 1.44063 \\ k_3 &=& f(0.2 + \cfrac {0.2}{2},\; 1.22421 + \cfrac {0.2 \cdot 1.44063}{2}) &=& f(0.1,\; 1.111) &=& 1.45827 \\ k_4 &=& f(0.2 + 0.2,\; 1.22421 + 0.2 \cdot 1.45827) &=& f(0.2,\; 1.2242) &=& 1.67586 \\ \end{array}\] \[y_2 = 1 + \cfrac {0.2}{6} [1.26421 + 2(1.44063) + 2(1.45827) + 1.67586] = 1.51547\]

Tercera Iteración

\[\begin{array}{lllllll} k_1 &=& f(0.4,\; 1.51547) & & &=& 1.67547 \\ k_2 &=& f(0.4 + \cfrac {0.2}{2},\; 1.51547 + \cfrac {0.2 \cdot 1.67547}{2}) &=& f(0.5,\; 1.51547) &=& 1.93302 \\ k_3 &=& f(0.4 + \cfrac {0.2}{2},\; 1.51547 + \cfrac {0.2 \cdot 1.93302}{2}) &=& f(0.5,\; 1.70877) &=& 1.95877 \\ k_4 &=& f(0.4 + 0.2,\; 1.51547 + 0.2 \cdot 1.95877) &=& f(0.6,\; 1.90722) &=& 2.26722 \\ \end{array}\] \[y_3 = 1 + \cfrac {0.2}{6} [1.67547 + 2(1.93302) + 2(1.95877) + 2.26722] = 1.90635\]

Cuarta Iteración

\[\begin{align*} k_1 &= 2.26634 \\ k_2 &= 2.62298 \\ k_3 &= 2.65864 \\ k_4 &= 3.07807 \\ \end{align*}\] \[y_4 = 2.43660\]

Quinta Iteración

\[\begin{align*} k_1 &= 3.07660 \\ k_2 &= 3.55426 \\ k_3 &= 3.60202 \\ k_4 &= 4.15700 \\ \end{align*}\] \[y_5 = 3.15480\]

RESULTADO

\[y(1) = 3.15480 \tag{h = 0.2}\]

Referencias

• Minerva S. (2022). Método de Runge Kutta de cuarto orden. https://www.loom.com/share/ecfdd3b5875f4fa78b0bb8a65c904342?sid\f9f9d2bb-48f6-4a52-aa8c-d6f8770757e2