Formulario: Métodos Numéricos (1er parcial)

• Serie de Taylor y Melaurines
  • Errores
• Métodos iterativos
  • Ecuaciones
    • IMPORTANTE
    • Bisección
      • NOTA
    • Regla Falsa
    • Newton-Raphson
    • Punto Fijo
  • Sistemas de Ecuaciones
    • Lineales
      • IMPORTANTE
      • Newton-Raphson
      • Gauss Seidel
    • No lineales
      • Newton-Raphson Multivariable
      • Punto Fijo Multivariable

Serie de Taylor y Melaurines

\[\begin{alignat*}{2} f(x) &\approx f(a) + f'(a)(x-a) + \cfrac {f''(a)(x-a)^2}{2!} + \cfrac {f'''(a)(x-a)^3}{3!} + \cdots + \cfrac {f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!} \tag{Taylor} \\ \\ f(x) &\approx f(0) + f'(0)x + \cfrac {f''(0)x^2}{2!} + \cfrac {f'''(0)x^3}{3!} + \cdots + \cfrac {f^{(n)}(0)x^n}{n!} \tag{Melaurines} \end{alignat*}\]

Errores

\[\begin{alignat*}{2} E_A &= | V_c - V_a | \tag{Error Absoluto} \\ \\ E_R &= \cfrac {E_A}{V_c} \tag{Error Relativo} \\ \\ E_{RP} &= E_R \cdot 100\% \tag{Error Relativo Porcentual} \end{alignat*}\]

Métodos iterativos

Ecuaciones

IMPORTANTE

\[\varepsilon = | x_{act} - x_{ant} |\]

Bisección

NOTA

\(x_m\) remplaza al \(x_k\) ( \(x_i\) o \(x_d\) ) que al ser remplazada en la función tenga el mismo signo que \(f(x_m)\)

\[\begin{alignat*}{2} x_m &= \cfrac {x_i + x_d}{2} \\ \\ n &≥ \cfrac {\ln[x_d - x_i] - \ln \varepsilon}{\ln 2} \tag{No. iteraciones} \end{alignat*}\]

Regla Falsa

\[x_m = \cfrac {x_i f(x_d) - x_d f(x_i)} {f(x_d) - f(x_i)}\]

Newton-Raphson

\[\begin{alignat*}{2} x_{n+1} = x_n - \cfrac {f(x_n)}{f'(x_n)} \end{alignat*}\]

Punto Fijo

\[\begin{alignat*}{2} \begin{array}{c} x_1 = g \left(x_0 \right) \\ x_2 = g \left(x_1 \right) \\ x_3 = g \left(x_2 \right) \\ \vdots \\ x_{n+1} = g \left(x_n \right) \end{array} \tag{Arreglos} \\ \\ \lvert g\:' \left(x_n \right) \rvert < 1 \tag{Criterio de convergencia} \end{alignat*}\]

Sistemas de Ecuaciones

Lineales

IMPORTANTE

Es necesario el predominio diagonal

Newton-Raphson

1. Acomodas respecto al predominio diagonal.
2. Despejas con respecto a \(x_1\) en \(f_1\), \(x_2\) en \(f_2 \dots\).
3. Evalúas los arreglos encontrados con el vector inicial y en cada iteración remplazas las incógnitas por los valores previamente encontrados.

Gauss Seidel

1. Acomodas respecto al predominio diagonal.
2. Despejas con respecto a \(x_1\) en \(f_1\), \(x_2\) en \(f_2 \dots\).
3. Remplazas los valores encontrados en la misma iteración, es decir, al encontrar \(x_n\) se remplaza en las siguientes ecuaciones.

No lineales

Newton-Raphson Multivariable

\[J = \begin{vmatrix} \cfrac {\partial f_1}{\partial_x} & \cfrac {\partial f_1}{\partial_y} \\ \cfrac {\partial f_2}{\partial_x} & \cfrac {\partial f_2}{\partial_y} \\ \end{vmatrix} \ = \begin{vmatrix} f_{1x} & f_{1_y} \\ f_{2x} & f_{2_y} \end{vmatrix} \neq 0 \tag{Criterio de convergencia}\] \[\begin{alignat*}{2} x_1 = x_0 - \cfrac {f^0_{2y}f^0_{1} - f^0_{1y}f^0_2}{f^0_{1x}f^0_{2y} - f^0_{1y}f^0_{2x}} \\ \\ y_1 = y_0 - \cfrac {f^0_{1x}f^0_{2} - f^0_{2x}f^0_1}{f^0_{1x}f^0_{2y} - f^0_{1y}f^0_{2x}} \end{alignat*}\]

Punto Fijo Multivariable

\[\begin{matrix} \left | \cfrac {\partial g_1}{\partial x} \right | &+& \left | \cfrac {\partial g_2}{\partial x} \right | \leq 1 \\ \\ \left | \cfrac {\partial g_1}{\partial y} \right | &+& \left | \cfrac {\partial g_2}{\partial y} \right | \leq 1 \end{matrix} \tag{Criterio de convergencia}\]