Método de Punto Fijo

Un punto fijo de una función \(g \left(x \right)\) es un número real \(x\) tal que \(x\ g \left(x \right)\). Este método sirve para resolver funciones del tipo \(f \left(x \right) = 0\). Para tal objetivo, la ecuación se transforma de alguna manera a la forma: \(x = g \left(x \right)\).

Este se logra despejando \(x\) de alguno de los miembros de la ecuación, factorizando \(x\) o despejándola o sumando \(x\) a ambos lados de la ecuación. Se requiere un solo valor inicial \(x_0\) y el método iterativo surge de aplicar la siguiente fórmula:

\[\begin{array}{c} x_1 = g \left(x_0 \right) \\ x_2 = g \left(x_1 \right) \\ x_3 = g \left(x_2 \right) \\ \vdots \\ x_{n+1} = g \left(x_n \right) \end{array}\]

Hasta satisfacer la tolerancia del error o bien hasta encontrar el punto fijo.

Para determinar cuál arreglo (despeje, \(g(x)\) ) es el adecuado, existe un criterio de convergencia suficiente, más no necesario, el cual se muestra en seguida:

\[\lvert g\:' \left(x_0 \right) \rvert < 1\]

Ejemplos

1. Use el método de punto fijo para encontrar una solución con \(\varepsilon = x \cdot 10^{-3}\) para \(f(x) = \cos x - \ln x = 0\) con \(x_0 = 1.3\).

Arreglos:

\[\begin{alignat*}{2} \cos x - \ln x & 0 \\ \cos^{-1}(\cos x & \ln x) \\ x & \cos^{-1} (\ln x) \tag{Arreglo 1} \end{alignat*}\]

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\[\begin{alignat*}{2} \cos x - \ln x & 0 \\ {\huge e^{(\cos x\ = \ \ln x )}} \\ e^{\cos x} & x \tag{Arreglo 2} \end{alignat*}\]

Criterio de convergencia

\[\begin{alignat*}{2} g_1(x) & \cos^{-1} (\ln x) \\ g_1'(x) & \frac {\cfrac {1}{x}}{\sqrt{1 - \ln^2 x}} \ - \frac {1}{x \sqrt{1 - \ln^2 x}} \\ |g_1'(1.3)| & 0.79716 < 1 \end{alignat*}\]

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\[\begin{alignat*}{2} g_2(x) & e^{\cos x} \\ g_2'(x) & -\sin x e^{\cos x} \\ |g_2'(1.3)| & 1.25907 > 1 \end{alignat*}\]

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Como el arreglo que cumple con el criterio de convergencia es:

\[\begin{array}{c} x = \cos^{-1} (\ln x), && x_0 = 1.3 \end{array}\]

\(n\)	\(g(x)\)	\(ε\)
1	1.30532	-
2	1.30109	0.00424
3	1.30446	0.00337
4	1.30177	0.00268
5	1.30391	0.00214
6	1.30221	0.00170
7	1.30356	0.00135
8	1.30249	0.00108
9	1.30334	0.00086

RESPUESTA

\[x \approx 0.00086\]

1. Aproxime la raíz de \(f(x) = x-3\sin x + 1\) con \(\varepsilon = 0.005\) y \(x_0 = 0.5\), utilizando el método de punto fijo

Arreglos:

\[\begin{alignat*}{3} x - 3\sin x + 1 & 0 \\ x & 3\sin x - 1 \tag{Arreglo 1} \end{alignat*}\]

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\[\begin{alignat*}{2} x - 3 \sin x + 1 & 0 \\ \sin^{-1}(\sin x & \frac {x + 1}{3}) \\ x & \sin^{-1} \left( \frac {x + 1}{3} \right) \tag{Arreglo 2} \\ \end{alignat*}\]

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Criterio de convergencia

\[\begin{alignat*}{2} g_1(x) & 3 \sin x - 1 \\ g_1'(x) & 3 \cos x \\ |g_1'(0.5)| & 2.63275 > 1 \end{alignat*}\] \[\begin{alignat*}{2} g_2(x) & \sin^{-1} \left( \frac {x + 1}{3} \right) \\ g_2'(x) & \frac {\cfrac {1}{3}}{\sqrt{1 - \left( \cfrac {x + 1}{3} \right)^2}} \\ g_2'(0.5) & 0.38490 < 1 \end{alignat*}\]

El arreglo que cumple con el criterio de convergencia es:

\[g(x) = \sin^{-1} \left( \frac {x + 1}{3} \right)\]

\(n\)	\(g(x)\)	\(ε\)
1	0.52350	-
2	0.53271	0.00911
3	0.53623	0.00353

RESPUESTA

\[x \approx 0.53623\]