Métodos para la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales


Tenemos dos métodos iterativos:

  • Método de Jacobi
  • Método de Gausts-Seidel

Para ambos métodos se deben ordenar las ecuaciones e incógnitas de forma que se obtenga predominio diagonal, que cada elemento de la diagonal \(a\_{ij}\) sea superior en valor absoluto, que las magnitudes del resto de los elementos en la fila \(i\) y la fila \(j\).

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con el vector inicial \(x_0 = (1, 1, 1)\) y \(ε = 0.005\)

\[\begin{cases} 4x_1 &+& 2x_2 &+& x_3 && 11 \\ -x_1 &+& 2x_2 && && 3 \\ 2x_1 &+& x_2 &+& 4x_3 && 16 \end{cases}\]

Despejando:

\[\begin{eqnarray*} x_1 && \cfrac {11 - 2x_2 - x_3}{4} \\ x_2 && \cfrac {3+x_1}{2} \\ x_3 && \cfrac {16 - 2x_1 - x_2}{4} \end{eqnarray*}\]

Método de Jacobi

En este método se evalua las ecuaciones encontradas con el vector inicial y en cada iteración se remplazan las incógnitas por los valores previamente encontrados

n \(x_1\) \(x_2\) \(x_3\)   \(ε_1\) \(ε_2\) \(ε_3\)
1 2 2 3.25   - - -
2 0.9375 2.5 2.5   1.0625 0.5 0.75
3 0.875 1.96875 2.90625   0.0625 0.53125 0.40625
4 1.03906 1.9375 3.07031   0.16406 0.03125 0.16406
5 1.01367 2.01953 2.99609   0.02539 0.08203 0.07422
6 0.99121 2.00684 2.98828   0.02246 0.01270 0.00781
7 0.99951 1.99561 3.00269   0.00830 0.01123 0.01440
8 1.00153 1.99976 3.00134   0.00201 0.00415 0.00134
RESPUESTA
\[(x_1, x_2, x_3) \approx (1.00153, 1.99976, 3.00134)\]

Método de Gauss-Seidel

En este método, a diferencia del de Jacobi, se remplaza los valores encontrados en la misma iteración, es decir, al encontrar \(x_n\) se remplaza en las siguientes ecuaciones.

NOTA

Este método es más rápido que el de Jacobi

n \(x_1\) \(x_2\) \(x_3\)   \(ε_1\) \(ε_2\) \(ε_3\)
1 2 2.5 2.375   - - -
2 0.90625 1.95313 3.05859   1.09375 0.54687 0.68359
3 1.00879 2.00439 2.99451   0.10521 0.05126 0.06408
4 0.99918 1.99959 3.00051   0.00961 0.00480 0.00600
5 1.00008 2.00004 2.99995   0.00090 0.00045 0.00056
RESPUESTA
\[(x_1, x_2, x_3) \approx ( 1.00008, 2.00004, 2.99995)\]



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