Punto Fijo Multivariable

• Ejemplo 1
  • RESPUESTA
• Ejemplo 2
  • RESPUESTA

Criterio de convergencia: Una condición suficiente aunque no necesaria, para asegurar la convergencia es que:

\[\begin{matrix} \left | \cfrac {\partial g_1}{ \partial x} \right | &+& \left | \cfrac {\partial g_2}{ \partial x} \right | \leq 1 \\ \left | \cfrac {\partial g_1}{ \partial y} \right | &+& \left | \cfrac {\partial g_2}{ \partial y} \right | \leq 1 \\ \end{matrix}\]

Para todos los apuntes \((x, y)\) de la región del plano que contiene todos los valores y la raíz buscada.

Ejemplo 1

Resuelve el siguiente sistema:

\[\begin{cases} x^2 &-& 10x &+& y^2 &+& 8 \\ xy^2 &+& x &-& 10y &+& 8 \end{cases}\]

Obtenemos los despejes:

\[\begin{array}{l} \cfrac {\partial g_1}{ \partial x} = \cfrac x5 & & \cfrac {\partial g_2}{ \partial x} = \cfrac {y^2 + 1}{10} & & \left | \cfrac {\partial g_1}{ \partial x} \right | &+& \left | \cfrac {\partial g_2}{ \partial x} \right | = \cfrac 1{10} \\ \\ \cfrac {\partial g_1}{ \partial x} = \cfrac y5 & & \cfrac {\partial g_2}{ \partial x} = \cfrac{xy}5 & & \left | \cfrac {\partial g_1}{ \partial y} \right | &+& \left | \cfrac {\partial g_2}{ \partial y} \right | = 0 \\ \end{array}\]

Una vez revisado el criterio comenzamos a iterar:

n	\(x_i\)	\(y_i\)
0	0	0
1	0.8	0.8
2	0.928	0.93120
3	0.97283	0.97327
4	0.98937	0.98943
5	0.99578	0.99579
6	0.99832	0.99832

RESPUESTA

\[(x, y) \approx (0.99832, 0.99832)\]

Ejemplo 2

Usando el método de punto fijo multivariable con los despejes datos y con \(x_0 = y_0 = 0\). Use los arreglos:

\[\begin{array}{l} x = \cfrac {y}{4} + x^2 - \cfrac {1}{2}, && y = x^2 - 5xy \end{array}\]

Realiza 3 iteraciones

n	\(x_i\)	\(y_i\)
0	0	0
1	-0.5	0
2	-0.25	0.25
3	-0.375	0.375

RESPUESTA

\[(x_3, y_3) \approx (-0.375, 0.375)\]